函数 (2)

3. 函数的性质

3.2 函数的奇偶性简介

奇偶函数的定义

重要结论

1. 具有奇偶性的函数定义域一定是关于原点对称的. 反之不一定 (必要非充分条件).

2. 函数运算与奇偶性:

   1. $\mathrm{奇}\pm \mathrm{奇}=\mathrm{奇}$
   2. $\mathrm{奇}\times \mathrm{奇}=\mathrm{偶}$
   3. $\mathrm{偶}\pm \mathrm{偶}=\mathrm{偶}$
   4. $\mathrm{偶}\times \mathrm{偶}=\mathrm{偶}$
   5. $\mathrm{奇}\times \mathrm{偶}=\mathrm{奇}$

3. 奇函数, 图像关于原点对称; 偶函数, 图像关于 $y$ 轴对称.

4. 若 $f(x)$ 是具有奇偶性的单调函数. 则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性相同(相反).

5. 考虑复合函数 $F(x)=f\circ g(x)$:

   1. 若 $g(x)$ 为偶函数, 那么 $F(x)$ 为偶函数.
   2. 若 $g(x)$ 为奇函数, $f(x)$ 为奇函数, 则 $F(x)$ 为奇函数.
   3. 若 $g(x)$ 为奇函数, $f(x)$ 为偶函数, 则 $F(x)$ 为偶函数.

6. 若 $f(x)$ 定义域关于原点对称, 那么: $f(x)+f(-x)$ 是偶函数; $f(x)-f(-x)$ 是奇函数.

7. $f(x)$ 即使奇函数, 又是偶函数 $\iff f(x)=0$.

8. 如果 $f(x)$ 的定义域关于原点对称, 那么 $f(x)$ 可以写成:

   $$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]$$

总结一下习题的讨论:

1. 证明某个函数的奇偶性.
2. 判断带参数函数的奇偶性, 然后给出未知数的范围.
3. 给出已知函数表达式与特性区间条件, 然后求特定函数的表达式.

3.3 反函数

反函数的定义. 简单来说, 是要将式子 $y=f(x)$ 解出 $x$, 然后表达式记为原函数的反函数. 注意这里的定义域和值域, 其限制条件也是一个常见考点. 将函数 $f(x)$ 的反函数记为 $f^{-1}(x)$.

一些结论:

1. 在同一坐标系内, 函数 $f(x)$ 与函数 $f^{-1}(x)$ 的图像, 关于直线 $y=x$ 对称.